Bayes” Theorem-এর মূল idea খুব simple:
নতুন evidence পাওয়ার পর আমরা আমাদের belief update করি।
Formula:
$$P\left( A~|~B \right) = \frac{P\left( B~|~A \right)P(A)}{P(B)}$$এখানে:
P(A) → Prior
P(B | A) → Likelihood
P(A | B) → Posterior
P(B) → Evidence
অর্থাৎ নতুন evidence পাওয়ার পর আমরা কোনো event-এর probability নতুনভাবে estimate করতে পারি।
Fraud Example
ধরুন একটি payment system-এ:
Only 1% transactions are fraud.
অর্থাৎ:
$$P\left( \text{Fraud} \right) = 0.01$$Fraud হলে detection system 90% সময় alert দেয়:
$$P\left( \text{Alert }~|~\text{Fraud} \right) = 0.90$$আবার normal transaction-এর 5%-এও false alert দেয়:
$$P\left( \text{Alert }~|~\text{Normal} \right) = 0.05$$এখন একটি transaction-এ alert এসেছে।
Question:
Transaction-টি fraud হওয়ার probability কি 90%?
না।
কারণ 90% হলো:
P(Alert | Fraud)
কিন্তু আমাদের জানতে হবে:
P(Fraud | Alert)
এই দুইটি probability এক নয়।
Fraud-এর base rate মাত্র 1% হওয়ায় normal transactions-এর বিশাল সংখ্যা false alert তৈরি করতে পারে।
Bayes” Theorem এই base rate এবং evidence—দুটিকেই একসাথে বিবেচনা করে।
Important Terms
Prior
Evidence পাওয়ার আগে কোনো event সম্পর্কে আমাদের probability বা belief।
P(Fraud)
Likelihood
Event সত্য হলে observed evidence পাওয়ার probability।
P(Alert | Fraud)
Posterior
Evidence পাওয়ার পরে updated probability।
P(Fraud | Alert)
সহজভাবে:
Prior
↓
New Evidence
↓
Posterior