এটি একটি classic probability interview question।
Question:
একটি room-এ কতজন মানুষ থাকলে অন্তত দুইজনের same birthday হওয়ার probability 50%-এর বেশি?
Assuming:
365 days
Leap year ignore করা হচ্ছে
প্রতিটি birthday equally likely
উত্তর:
23 people
এখানে surprising বিষয় হলো 23 জন খুব বেশি মনে না হলেও matching birthday-এর probability 50%-এর বেশি হয়।
কেন?
23 জন মানে শুধু 23টি individual comparison নয়।
তাদের মধ্যে possible pairs-এর সংখ্যা:
$$\binom{23}{2} = 253$$অর্থাৎ 253টি possible pair আছে যাদের birthday match করতে পারে।
Calculation Trick
Directly:
At least one matching birthday
calculate করার চেয়ে তার complement calculate করা সহজ।
তাই:
$$P\left( \text{Match} \right) = 1 - P\left( \text{No Match} \right)$$23 জনের ক্ষেত্রে no-match probability:
$$P\left( \text{No Match} \right) = \frac{365}{365}\frac{364}{365}\frac{363}{365}...\frac{343}{365}$$সুতরাং:
$$P\left( \text{Match} \right) = 1 - P\left( \text{No Match} \right)$$এবং এই probability 50%-এর বেশি হয় 23 জনে।
Interview Lesson
Probability problem-এ যদি প্রশ্ন হয়:
At least one
তাহলে অনেক সময় complement ব্যবহার করা সহজ:
P(At least one)
=
1 - P(None)
এই technique শুধু Birthday Problem নয়, অনেক probability problem-এই useful।
একটি বিশেষ correction খেয়াল রাখবেন: **CLT-এর “large sample” মানেই fixed `n ≥ 30` নয়**—distribution-এর skewness, dependence, finite variance ইত্যাদির উপর কত বড় sample দরকার তা নির্ভর করে। তাই বইয়ে নির্দিষ্ট “30 samples হলেই CLT” ধরনের rule না দেওয়াই ভালো।